デルタ 関数 積分。 デルタ関数のフーリエ変換

デルタ関数

🤟 公式として記憶しても用はなしますが,きちんと理解するには,超関数を「汎関数」と認識(理解)したうえで,テスト関数として急減少関数を仮定していることも心に留めておく必要があります。

デルタ関数の積分

😊 「絶対可積分」だが「2 乗可積分」でない関数もあるし ,「2 乗可積分」だが「絶対可積分」でない関数もある. あっけない話だろう ?単純すぎて ,普通の関数でさえ「超関数」に含まれてしまいそうだ. すると次のように ,デルタ関数を積分すると有限値である 1 になることが導かれる. 超関数とは何か このように ,デルタ関数についてのフーリエ変換も逆変換も特に問題はなさそうだ. 多くの教科書では以上のことがフーリエ変換が成り立つための十分条件であるように読み取れるのだが ,「絶対可積分は必要条件である」かのように書かれている資料も見つかったので私は混乱している. というのは ,元々 であった関数を , のように有限の値へと対応させるような を考えようというアイデアだからである. 1 式のデルタ関数の定義では を任意の実連続関数だとしていたのだが ,そこに連続でも関数でもないデルタ関数そのものを入れてしまったことになる. そして関数がこの「2 乗可積分の条件」を満たしていれば ,そのベクトル空間に問題なく内積が定義できるらしい. 一般的に,f x の方は局所可積分な関数であれはいいのです。

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デルタ 関数 積分

🙂 これを最初の左辺と比較すれば , が と同じ機能を持っていることが分かる. しかしデルタ関数というのは通常の関数の範疇には含まれない「超関数」なのだった. このようなデルタ関数の積を毎回書くのは長ったらしくて面倒なので ,変数部分をベクトルにした というものを使って略して書くことが多い. ) この式の積分順序を交換して・・・ ,この操作には別に何の問題もないはずだ. 近似表現 デルタ関数を通常の関数で近似することも行われる. 3 つのデルタ関数の積であることを強調するために と書く場合もあるようだ. さらに ,どんな関数を使っても における値 しか拾ってこないことから , 以外の区間での の値はデルタ関数によって無効化されていることになる. フーリエ逆変換の式にフーリエ変換の式を代入したものは次のようになるのだった. この式はあたかも , をフーリエ逆変換しているかのような形をしているではないか. 実は左右対称ではない形の関数の極限としてのデルタ関数を考えることもできるのだが ,その場合でも 1 式と同じ性質を持つので結局は同じ結論にたどり着くことになる. この式の左辺の被積分関数内の の符号を入れ替えても全体は変化しないので , となり ,これと 7 式を足し合わせることで ,次の関係が得られる. この2番目と3番目の式の積分が 1 になることを確認するのはちょっとしたテクニックが要って説明が長くなるので略させてもらうことにする. なぜこうなるのか , 4 式を知っていれば大体察しが付くだろう. 下から 2 番目の式は積分変数が になっているが ,これを代わりに でも でも好きな記号を使って書き換えても結果は同じなわけで ,結局 で書き換えてみたのが最後の式である. デルタ関数のフーリエ変換 デルタ関数は普通の意味での関数ではないのでフーリエ変換の公式に当てはめるわけには行かない. それでこの式を超関数 のフーリエ逆変換 の定義式として採用しよう. 次の公式もびっくりするようなものだが ,今の式で , とすれば確かにこうなりそうだ. フーリエ変換した結果の式の変数が 0 になるというのだから ,具体的にはこうであるに違いない. この条件が入っていないと ,理工系では決して扱う必要のないようなひねくれた関数が議論に上ってくるだろう. 仮に区分的に滑らかで絶対可積分でありさえすればフーリエ変換が使えるというのなら ,関数の途中に無限大になるところが幾つかあっても問題ないということだろうか ?だとしたらこれはフーリエ級数の場合とは大きな違いである. この右辺がどうなるかは ,先ほどデルタ関数の微分の性質が分かったばかりなので当てはめてみれば簡単に分かる. しかしこうやって超関数のフーリエ変換を通常のフーリエ変換とは異なるものとして定義して ,特別に許されているものだということをはっきりさせておけば安心できるだろう. この見た目はデルタ関数のフーリエ変換をしたのと全く同じであり ,便宜上 ,「デルタ関数をフーリエ変換した結果は である」と言ってしまっても良さそうだ. 何回でも微分できて , で素早く 0 に収束するような関数を とする. いかにも倍率の「分布」を設定して関数に重ね合わせることで ,それに応じた値を関数から取り出しているような感じではないか. 「始状態のブラケットが計算できたところで、次に、散乱をあらわすブラケットを計算してみましょう。

デルタ 関数 積分

😎 このように ,超関数というのは普通の関数の多くもその中に含むような広い概念になっている. こんな調子で ,何回微分しても符号が変わるだけで似たような性質があることが導かれるのである. は 0 になってはいけないので , 軸にギリギリ接するような曲線を持つ関数は 5 式には当てはめられない. のところでだけ無限大となり ,それ以外のところでは 0 である. 教科書では などのようにさらっと出てくることがあるが ,そういう式変形をするための特別な技などがあるわけではないので ,どうやって導き出したのかと悩む必要はない. 変数のスケールを変える 関数 だったものを にすると , の場合にはグラフは横に押し潰された形になる. 極限を使って でデルタ関数に近付くような関数列を考えるのである. 教科書によっては「区分的に滑らか」という条件が書かれていないものもあるが ,敢えて書かなかっただけで本当は入れる必要があるのではないかと私は思う. これが任意の関数 について成り立つことから ,カッコ内も 0 だと言えて ,先ほど書いた性質が導かれるのである. フーリエ解析はあとで説明するつもりなので ,ここでは別の方法でこの関係が成り立っていそうなことを説明しておこう. ほとんどの理工系向けの教科書がこの部分を詳しく書いてくれていないからだ. 今回の 5 式においては ,その点における の微分が同じ意味を持っているのである. 2番目は複素積分の手法を駆使し ,3番目はの公式を使うのである. 残念ながら ,なぜそう言えるのかという納得の行く証明が書かれている書物を私はまだ見つけられないでいる. しかしだからと言って「 を逆変換するとデルタ関数になる」と言ってしまうのは飛躍であろう. フーリエ変換が使える条件 フーリエ変換はフーリエ級数の周期を無限大に引き伸ばして作った概念だったから ,当てはめて使える関数も同じような性質のものだろうと考えたくなる. このようにすると での関数 の値 が取り出されてくるというわけである. この右辺についてはデルタ関数の基本的な性質から ,どうなるかすぐに分かるだろう. これらを同時に表したければ次のように表しておけば良いだろう. なぜなら ,デルタ関数を微分したものは 以外ではデルタ関数に良く似ていることが先ほど示されたので ,無限の彼方では 0 だからである. 超関数は英語では「distribution」と呼ばれており ,「分布」という意味である. 幾つかそれらしいことを論じている資料を見付けはしたのだが ,読んでみても納得出来ないことばかりであり ,物理数学とは関係のない世界に分け入って来てしまった感がある. 同様な過程を繰り返すことにより ,逆変換についても次のことが言える. 普通は 1 式を使って定義するものであるし ,左右対称のイメージを持っていた方が物理的にも自然なことが多いだろう. 積分範囲が全範囲の積分では被積分関数の積分変数の符号を変えても結果は変わらないので ,この左辺の被積分関数の を に置き換えた次の式が成り立つ. 上の二つの式を見比べると ,要するに ,次のような関係が成り立っていると結論できそうである. おそらく ,初歩的な物理や工学で出てくる関数を使っている限りではそのような問題は気にしなくても大丈夫なのだろう. ならば ,この式が を定義する式として使えるのではないだろうか. デルタ関数の 2 乗の積分がどうなるかについては定義されていないそうなので ,この辺りのことを論じるのは慎重にならないといけないのだろうと考えている. それで最初の積分と最後の積分を比較すれば次の式が成り立っていると言えるだろう. の微分は となるので , 7 式の右辺にあったマイナスが相殺されているのである. しかしデルタ関数をフーリエ変換することについては問題があると教科書にはっきり書かれており ,デルタ関数のような超関数をフーリエ変換することを正当化するための処方はしっかり紹介されていたりするのである. 当サイトは主に物理に関する数学など、その他周辺も含めた少々ごった煮のウェブサイトです。 これを導くには 2 式の を に変数変換してやればいい. つまり , 以外の区間では となっているのだと言えるだろう. デルタ関数の中に関数をつっこむ 次に紹介する性質は今の話の応用である. これらは で積分すると常に 1 になるし , では は無限大に近付くし ,それ以外の点では 0 に近付く. 3次元のデルタ関数 点状の粒子が に存在することを表すのに を使うと説明したが ,これでは 軸上の 1 次元でのことしか表せない. というわけで矛盾が起こるというほどの話でもないが ,成り立つとも言えないわけだ. すると ,次のような形で表せば良いだろうか ? しかしこれは少しだけ違うのである. この S上の連続線形汎関数を 緩増加超関数といい,ざっくりと,「フーリエ変換が可能な関数の集合」 となります。

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デルタ関数

😊 そのようなものを無邪気にフーリエ変換の公式に当てはめてみて ,問題なく式が成り立つことが示せたから受け入れて使ってしまおうという態度では節操がなさすぎると思うのだ. 先ほどの超関数の説明で ,「何回でも微分できて , で素早く 0 に収束するような関数」 というものを考えた. しかしこの式は でも正しいだろうか ?デルタ関数は変数の正負にかかわらず負になることはないのだから ,右辺は負になり ,左辺は正になる. また、Cは、したときに現れる係数をあらわします。 ひょっとすると「区分的に滑らか」という条件を入れない場合には必要条件になるのかも知れない ,などと悩んでいる. しかし という形を使うと になるところでデルタ関数の能力が発揮されることになるので , が特別な点になる. そんなことをしてもいいのかどうか私には良く分からないが ,公式として出回っているものをとにかく集めてまとめるという方針なので書いておいた. ところで ,デルタ関数の中につっこむことの出来る には制限がある. 関数はベクトルの一種であって ,線形代数で議論できる対象であるという話を少し前から時々話してきた. デルタ関数の 1 階微分は奇関数的である デルタ関数を 1 階微分したものの性質をもう少し調べてみよう. この積分が発散してしまわないで有限の値を持つ時 , のことを超関数だとするのである. これと同様に という関係が成り立っているのだが ,これは別に偶関数の性質を持ち出さなくても 1 式で とすればすぐに分かることだろう. ところで ,途中に無限大になる場所があっても積分値が有限であるような関数は普通にある. 厳密には,超関数として定義します。

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デルタ関数と公式

☎ 粒子が 3 次元空間の一点 に存在することを表したい場合には次のように 3 つのデルタ関数を組み合わせて使えばよい. 別の流儀の教科書では「 1 のフーリエ変換はデルタ関数になる」と書かれていることがあるので ,そういう記憶に残りやすいフレーズに流されて勘違いをしてしまわないように敢えて書いておくことにした. デルタ関数の場合には元々一点のみで無限大のグラフなのだから押し潰されてもグラフの形に変わりない感じはするのだが ,次のような関係が成り立っている. デルタ関数は積分してこそ意味があり ,いずれ積分されなければならない運命にあるのだから ,この形になっていれば積分しようがしまいが 0 であるのと同じだという意味である. ここで、散乱が起こる時間を 、散乱が起こる空間の体積を とすると、さきほどの始状態のブラケットのでは、係数 をかけました。

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